Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами

Abstract

На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина разработан новый метод решения обратных задач по спектральным характеристикам возмущенных самосопряженных операторов. Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений возмущенного самосопряженного оператора можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами или нет. Численные расчеты нахождения собственных значений для оператора Штурма- Лиувилля показывают, что предлагаемые формулы при больших номерах собственных значений дают результат точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Кроме того, по найденным формулам можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с очень большим номером, когда применение метода Бубнова-Галеркина становится затруднительным. Этот факт можно, например, использовать в задачах гидродинамической теории устойчивости, если необходимо находить знаки действительной или мнимой частей собственных значений этих задач с большими номерами. Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации. Метод был проверен на обратных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали его вычислительную эффективность. Based on the methods of regularized traces and Bubnov-Galerkin's method a new method for the solution of inverse problems is developed in spectral characteristics perturbed self-adjoint operators. Simple formulas for calculating the eigenvalues of discrete operators without the roots of the corresponding secular equation are found. Computation of eigenvalues of a perturbed self-adjoint operator can be started with any of their numbers, regardless of whether the previous numbers of eigenvalues are known or not. Numerical calculations for eigenvalues of the Sturm-Liouville's operator show that the proposed formulas for large numbers of eigenvalues give more accurate results than the Bubnov-Galerkin's method. In addition, the obtained formulas allow us to calculate the eigenvalues of perturbed self-adjoint operator with very large numbers, where the use of the Bubnov-Galerkin's method becomes difficult. It can be used in problems of hydrodynamic stability theory, if you want to find signs of the real or imaginary parts of the eigenvalues with large numbers. An integral Fredholm equation of the first kind, restoring the value of the perturbing operator in the nodal points of the sample, is obtained. The method is tested on inverse problems for the Sturm-Liouville's problem. The results of numerous calculations have shown its computational efficiency.