Сходимости метода конечных элементов для краевой задачи с вырождением на всей границе области

Abstract

В статье рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области Ω. Определяется обобщенное решение этой задачи, которое существует и единственно в весовом пространстве W¹₂‚ₐ( Ω). Для решения сформулированной задачи разработан метод конечных элементов, схема которого построена на основе определения обобщенного решения исходной дифференциальной задачи в пространстве W¹₂‚ₐ( Ω). С этой целью двумерная выпуклая область разбивается на треугольники со специальным сгущением к границе. Далее, введено пространство конечных элементов V ͪ С W¹₂‚ₐ( Ω), которое содержит непрерывные функции, линейные на каждом треугольном элементе сеточной области Ω ͪ и равные нулю на множестве Ω \ Ω ͪ , показана однозначная разрешимость схемы метода конечных элементов. Для обобщенного решения и из подпространства W²₂‚ₐ₋ ₁( Ω) пространства W¹₂‚ₐ( Ω) , используя значения в узлах триангулированной области Ω ͪ , строится интерполянт ui ϵ V ͪ , устанавливается факт его сходимости по норме W¹₂‚ₐ( Ω). Главным результатом работы является доказательство сходимости приближенного решения предложенного метода к точному решению в весовом пространстве Соболева. In this paper we consider the Dirichlet problem with homogeneous boundary condition for a second-order elliptic equation with degeneration on the entire twice continuously differentiable boundary of two-dimensional domain Ω. We define a generalized solution of this problem, which exists and is unique in the weighted Sobolev space W¹₂‚ₐ( Ω) . To solve the formulated problem a finite element method is developed, the scheme of which is constructed on the basis of the definition of a generalized solution of the original differential problem in the space W¹₂‚ₐ( Ω). For this purpose a two-dimensional convex domain is divided into triangles with special condensation to the boundary. Next we introduce a finite element space V ͪ C W¹₂‚ₐ( Ω) that contains continuous functions liner on each triangular element of grid region Ω ͪ and equal to zero on the set Ω\Ω ͪ , and show unique solvability of the scheme of the finite element method. For the generalized solution и from the subspace W²₂‚ₐ₋ ₁( Ω) of the space W¹₂‚ₐ( Ω), using its values in the nodes of the triangulated domain, an interpolant ui ϵ V ͪ is constructed, and the fact of its convergence with respect to the norm W¹₂‚ₐ( Ω) is established. The main result of the work for the proposed method for solving the first boundary value problem with degeneration is the proof of the convergence of the approximate solution to the exact solution in the weighted Sobolev space.