On a model of oscillations of a thin flat plate with a variety of mounts on opposite sides

Abstract

We consider a model case of stationary vibrations of a thin flat plate, one side of which is embedded, the opposite side is free, and the sides are freely leaned. In mathematical modeling there is a local boundary value problem for the biharmonic equation in a rectangular domain. Boundary conditions are given on all boundary of the domain. We show that the considered problem is self-adjoint. Herewith the problem is ill-posed. We show that the stability of solution to the problem is disturbed. Necessary and sufficient conditions of existence of the problem solution are found. Spaces of the ill-posedness of the considered problem are constructed. Рассматривается модель стационарных колебаний тонкой плоской пластины, у которой одна сторона заделана, противоположная сторона свободна, а по боковым сторонам - свободное опирание. При математическом моделировании возникает локальная краевая задача для бигармонического уравнения в прямоугольной области. Краевые условия задаются на всей границе области. Показано, что рассматриваемая задача оказывается самосопряженной, и при этом некорректной. Показано, что нарушается устойчивость решения задачи. Найдены необходимые и достаточные условия существования решения исследуемой задачи. Построены пространства корректности рассматриваемой задачи.