Математическая модель управления многоканальной рекламой с эффектом распределенной отдачи

Abstract

Анализируется динамическая непрерывная относительно времени модель оптимального распределения рекламных расходов на планируемом периоде при использовании фирмой нескольких медиаканалов разного качества и силы влияния на спрос. Учитывается запаздывающая реакция потребителя на рекламу и нерекламные факторы. При этом, в отличие от классических динамических оптимизационных моделей Нерлова - Эрроу, Видаля - Вульфа и их расширений, предлагаемая модель учитывает накопленные за возможно разные промежутки времени эффекты от воздействия рекламы нескольких медиаканалов и предыдущих объемов продаж. В рамках предлагаемой модели формулируется задача оптимального управления рекламными расходами с нелинейным интегральным уравнением типа Вольтерра, порожденного естественными ограничениями рассматриваемой проблемы. Доказывается теорема о существовании решения данного уравнения. Формулируется теорема о существовании решения задачи максимизации прибыли фирмы на плановом периоде при ограничении на поток рекламных затрат и функциональной зависимости, отражающей реакцию целевой аудитории. Также к задаче применяется принцип максимума и находятся необходимые условия построения оптимальной программы. The dynamic model of optimal distribution of advertising costs on the planning period is analyzed. It is assumed that companies can use several media channels of different quality and influence on demand. We consider the delayed reaction of consumers to advertising and non-advertising factors. Unlike such classical dynamic optimization models as Nerlove- Arrow model, Vidal-Wolf model and their extensions, the proposed model takes into account accumulated effects of advertising of several media channels and previous sales. In the framework of the proposed model, we consider the problem of optimal control of advertising costs with a nonlinear Volterra integral equation, which is generated by the natural constraints. The theorem on existence of solution to this equation is proved. Also, we formulate the theorem on existence of solution to the total profit maximization problem for the planning period under restriction. The maximum principle is applied to the problem and the necessary conditions for constructing an optimal strategy are found.